VARIABLE ALEATORIA

ESPERANZA MATEMÁTICA

Propiedades:

• Constantes 

La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante, entonces E[c] = c

• Linealidad 

La esperanza es un operador lineal, ya que: 

(*) 

por ende:

donde e son variables aleatorias y y son dos constantes cualesquiera. 

Nótese que (*) es válido incluso si X no es independiente de Y

Ejemplo:

E [5+1]= E [5] +1                    =E [6]

E [5+1]= E [5] + E [1]             =E [6]

E [a5]= aE[5]                          

E [a5 + b1] = aE[5] + bE[1]

VARIANZA MATEMÁTICA

Propiedades:

Algunas propiedades de la varianza son:

• V(X)≥0
• V(aX+b)=a2V(X) siendo a y b números reales cualesquiera. De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero, es de.cir, V(b)=0 
• V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y), donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y.
• V(X−Y)=V(X)+V(Y)−2Cov(X,Y), donde Cov(X,Y) es la covarianza de X e Y

Ejemplo:

V(5)  ≥ 0

V(2X+2) = 22 V(X)

V (5+1) = V(5) + V(1) + 2COV(5,1)

DESVIACIÓN ESTANDAR

1) La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2) Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no varía.

3) Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar quedamultiplicada por dicho número.

4) Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivasdesviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

º= raíz de º2/1 + º2/2… + º2/n

Si las muestras tienen distinto tamaño:

º=raíz de k1 x º2/1+ k2 x º2/2+….. + kn x º2/n dividido entre k1+k2+….kn

Ejemplo:

Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

X= 9+3+8+8+9+8+9+18 dividido entre 8 =9 

X= raíz de (9-9)+(3-9)+(8-9)+(8-9)+(9-9)+(8-9)+(9-9)+(18-9) todo elevado al cuadrado es =3.87

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

X= 1820 dividido entre 42 = 43.33

º= raíz de 88050 dividido entre 42 – 43.33 elevado al cuadrado = 14.797